球盒模型

球盒模型指的是把球放入盒子里的题目模型（强行解释）

广义组合数

分为盒子同或不同，球同或不同，盒子允许空或不空

所以一共八种问题

假设有n个球m个盒子

盒异，球同，盒子允许空 $C_{m+n-1}^{m-1}$

盒异，球同，盒不允许空 $C_{n-1}^{m-1}$

盒同，球同，盒子允许空 $\dpi{150} \prod _{j=1}^{m}\frac{1}{1-x^{j}}=\frac{1}{\phi (n)}$ 中的系数

盒同，球同，盒不允许空 $\prod _{j=1}^{m}\frac{x^j}{1-x^{j}}$ 中的系数

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盒异，球异，盒子允许空 $m^n$

盒异，球异，盒不允许空 $\sum _{k=0}^{m}(C_m^k(-1)^{m-k}k^n)$

盒同，球异，盒子允许空根据下一问枚举盒子个数

盒同，球异，盒不允许空 $\sum _{k=0}^m\frac{(C_m^k(-1)^{m-k}k^n)}{m!}$

证明：

盒异，球同，盒子允许空

$f(x) \\=(x^0+x^1+x^2+x^3...)^m \\=(\frac{1}{1-x})^m \\=(1-x)^{-m}$

$ans \\=C_{-m}^{n}(-x)^n \\=\frac{\prod _{k=-m-n+1}^{-m}k}{n!}(-x)^n \\=\frac{\prod _{k=m}^{m+n-1}k}{n!}x^n \\=C_{m+n-1}^{m-1}x^n$

盒异，球同，盒不允许空

隔板法 $C_{n-1}^{m-1}$

盒同，球同，盒子允许空

$f(x)\\=(x^{1*0}+x^{1*1}+x^{1*2}+...)(x^{2*0}+x^{2*1}+x^{2*2}+...)(x^{3*0}+x^{3*1}+x^{3*2}+...) ...\\=\prod _{j=1}^{m}\sum_{i=0}{(x^{j})^{i}}\\ =\prod _{j=1}^{m}\frac{1}{1-x^{j}}$

盒同，球同，盒子不允许空

$f(x)\\=(x^{1*1}+x^{1*2}+...)(x^{2*1}+x^{2*2}+...)(x^{3*1}+x^{3*2}+...) ...\\=\prod _{j=1}^{m}\sum_{i=1}{(x^{j})^{i}}\\ =\prod _{j=1}^{m}\frac{x^{j}}{1-x^{j}}$

盒子异，球异，盒子允许空

$m^n$

盒子异，球异，盒子允许空

$f(x) \\=(\frac{x^{1}}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+...)^{m} \\=(e^{x}-1)^{m} \\=\sum _{k=0}^{m}(C_{m}^{k}(-1)^{m-k}(e^{x})^{k}) \\=\sum _{k=0}^{m}(C_{m}^{k}(-1)^{m-k}(1+\frac{(kx)^{1}}{1!}+\frac{(kx)^{2}}{2!}+\frac{(kx)^{3}}{3!}+...))$

$ans\\=\sum _{k=0}^{m}(C_{m}^{k}(-1)^{m-k}\frac{(kx)^{n}}{n!}) \\= \sum _{k=0}^{m}(C_{m}^{k}(-1)^{m-k}k^n) \frac{x^n}{n!}$

盒同，球异，盒子允许空

设之为B(n,m)

枚举和n号球在一起的数量k

k=0->B(n-1,m-1)

k=1->B(n-2,m-1)

...

$B(n,m)=\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^iB(n-i-1,m-1) =\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^iB(i,m-1)$

盒同，球异，盒不允许空

相当于盒异，球异，盒不允许空去全排