实矩阵

常见的几种实矩阵有: 实对称矩阵、实反对称矩阵、厄米特矩阵、反厄米特矩阵、正交矩阵、对角矩阵、酉矩阵、正规矩阵

实对称矩阵

定义

若$A$为对称矩阵、则：
$$
\begin{aligned}
A = A^{T}
\end{aligned}
$$
这里左边为矩阵本身，右边为矩阵的转置

性质

对称矩阵必然有$n$个实特征向量，并两两正交

实反对称矩阵

定义

若$A$为对称矩阵,则：
$$
\begin{aligned}
A = -A^{T}
\end{aligned}
$$

厄米特矩阵

定义

若$A$为厄米特矩阵，则
$$
\begin{aligned}
A = A^H
\end{aligned}
$$
右边是矩阵的转置共轭矩阵

反厄米特矩阵

定义

若$A$为反厄米特矩阵，则
$$
\begin{aligned}
A = -A^H
\end{aligned}
$$

正交矩阵

定义

若$A$为正交矩阵,则
$$
\begin{aligned}
A * A^{T} = \lambda E
\end{aligned}
$$
这里右边为单位矩阵乘一个常数

对角矩阵

定义

若$A$为对角矩阵，则矩阵仅仅在对角线上对值非零

性质

对角矩阵一定是对称矩阵，对角矩阵的特征值即为对角线上的元素

酉矩阵

定义

若$A$为酉矩阵，则
$$
\begin{aligned}
AA^H = A^HA = E
\end{aligned}
$$

正规矩阵

定义

若$A$为正规矩阵，则
$$
\begin{aligned}
AA^H = A^HA
\end{aligned}
$$
实对称矩阵、实反对称矩阵、厄米特矩阵、反厄米特矩阵、正交矩阵、对角矩阵、酉矩阵都是正规矩阵，但正规矩阵远不止这些

矩阵的相似

定义

若满足
$$
\begin{aligned}
A = B^{-1}CB
\end{aligned}
$$
则AC相似

性质

若两个矩阵相似，则他们的特征值相同