广义组合数

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想必大家都知道的组合数在正整数上有： $$C_a^b=\frac{a!}{b!(a-b)!}$$

但很少有人知道这个公式在实数领域上也是成立的：

也就是说$n!$在实数上有定义

$x!=\gamma (x+1)...\gamma (x)$为伽马函数

下面问题转移到伽马函数上面了，但是在这里我们所用到的伽马函数的性质只有这一条

$\gamma (x)=(x-1)\gamma (x-1)$

为什么这样说呢，因为我们不需要计算$x!$，我们要算的是这个式子

$$C_a^b=\frac{a!}{b!(a-b)!}=\frac{\gamma (a+1)}{\gamma (b+1)\gamma (a-b+1)}$$

下面给出几个简单的我们来算一下 $$C_{4.5}^3=\frac{4.5!}{3!\ast 1.5!}=\frac{\gamma (5.5)}{3!\gamma (2.5)}=\frac{1}{3!}\frac{\gamma (5.5)}{\gamma (2.5)}=\frac{1}{3!}\ast 4.5\ast 3.5\ast 2.5$$

$$C_3^4=\frac{3!}{4!(-1)!}$$

为什么我不继续化简了呢？

如果你是一个思维严谨的读者，当你看到了我放入的伽马函数图像的时候，你就应该对我的博客提出质疑，

我曾经说n!在整个实数领域有意义，又说$x!=\gamma (x+1)$ ,然而我给出的伽马函数的定义域明显不包含负整数和0，

我一定有一个地方错了。

对的，负数没有阶乘！

我重新给出定义域： $$C_a^b=\frac{a!}{b!(a-b)!}$$ $x!$有意义当且仅当$x\ge 0||-x\notin Z$

不管读者如何想，至少我自己认为，如果给要给负数定义一个阶乘的值，依据伽马函数在对应的点的极限为∞，

那么负数的阶乘应该是∞，代入刚刚的式子并化简有 $$C_3^4=\frac{3!}{4!(-1)!}=\frac{1}{4}\ast \frac{1}{infinity}=0$$

我又写了一个不严谨的证明。。。。。。如果读者有兴趣，自己试着证明一下吧，至少我好像证出来了。

然后继续下一题 $$C_{-1}^3=\frac{(-1)!}{3!\ast (-4)!}$$

$$C_{-1}^{-4}=\frac{(-1)!}{(-4)!\ast 3!}$$

哈哈哈哈你说怎么办呢？？？？？

除非无穷大有大小关系，否则这里无法解释，，，，此路不通

数学总是这样，如果我非得让这个式子可以运算，将对很多其他数学定理有很大的影响，而不是那些数学家们不愿意在数学界给出新的运算。给出新的运算就得付出代价。

数学界用这样一种方法来回避这样的问题，重新定义组合数，而不是引入新的运算。

重新定义广义组合数的值 $$C_x^n=\frac{\prod _{i=x-n+1}^{x}i}{n!}(x\in R,n\in Z^{\ast })$$

如此我们把题目都重新做一遍 $$C_{4.5}^3=\frac{\prod _{i=4.5-3+1}^{4.5}i}{3!}=\frac{\prod _{I=2.5}^{4.5}i}{3!}=\frac{2.5\ast 3.5\ast 4.5}{1\ast 2\ast 3}$$

$$C_3^4=\frac{\prod _{i=3-4+1}^{3}i}{4!}=\frac{\prod _{i=0}^{3}i}{4!}=\frac{0\ast 1\ast 2\ast 3}{1\ast 2\ast 3\ast 4}=0$$

$$C_{-1}^3=\frac{\prod _{i=-1-3+1}^{-1}i}{3!}=\frac{\prod _{i=-3}^{-1}i}{3!}=\frac{(-3)\ast (-2)\ast (-1)}{1\ast 2\ast 3}$$

.......

差不多了

over