矩阵的分解

矩阵的分解非常重要,很多时候我们都需要使用到矩阵的分解,这会给我们提供极大的方便,笔者学习这一类问题花费了很多时间,想要看懂这一章,需要先看Post not found: 矩阵的类型及性质

矩阵的特征值分解

要求$n*n$矩阵拥有$n$个线性无关的特征向量
矩阵的特征值分解指的是利用特征值构造的矩阵进行分解。特征值与特征向量是这样定义的
$$
\begin{aligned}
&若矩阵A,列向量X,常数\lambda满足
\&AX = \lambda X
\&则X为A的特征向量,\lambda为A的特征值
\end{aligned}
$$

这里我们注意到如果$n*n$的矩阵$A$拥有$n$个线性无关的特征向量,我们很容易就可以列出下面的式子:
$$
\begin{aligned}
\&AX_1 = \lambda_1X_1
\&AX_2 = K_2X_2
\&AX_n = \lambda_nX_n
\&每个式子都是列向量,我们把这些式子横着排列成矩阵
\&[AX_1,AX_2…AX_n] = [\lambda_1X_1,\lambda_2X_2…\lambda_nX_n]
\&提取
\& A[X_1,X_2…X_n] = [X_1,X_2…X_n]\left[\begin{matrix}
&\lambda_1,&,&…&,
\&,&\lambda_2&…&,
\&,&,&…&,
\&,&,&…&\lambda_n
\end{matrix}\right]
\& A = [X_1,X_2…X_n]\left[\begin{matrix}
&\lambda_1,&,&…&,
\&,&\lambda_2&…&,
\&,&,&…&,
\&,&,&…&\lambda_n
\end{matrix}\right][X_1,X_2…X_n]^{-1}
\end{aligned}
$$
这就是矩阵的特征值分解了

矩阵的QR分解

要求矩阵列满秩
我们通过Gram-Schmidt正交化手段,可以得到一个所有列向量正交的矩阵,这个过程叫矩阵的正交化
Gram-Schmidt在正交化矩阵A第i个列向量的时候,使用前i-1个已经正交化了的列向量对其进行消除分量,这个过程逆过来看待就是从正交化矩阵到原始矩阵的过程,原始矩阵到正交化矩阵的时候,原始矩阵的前i个列向量线性组合能够得到正交矩阵的第i个列向量,那么,正交矩阵的前i个向量线性组合能够得到原始矩阵的第i个列向量,我们把正交矩阵得到原始矩阵的组合方式用矩阵来表示的话,这个矩阵显然是一个上三角矩阵。那个正交矩阵叫做$Q$,上三角矩阵叫做$R$,我们就有了$A=QR$,$Q$其实就是Gram-Schmidt的结果,R不好计算,但是原理都懂,不好模拟,但是在A是方阵的时候,$R$我们偷个懒,我们可以这样得到$R=Q^{-1}A=Q^TA$

矩阵的LU分解

矩阵的LU分解要求,可逆方阵
即将矩阵A分解为LU,L是下三角矩阵,U是上三角矩阵,大家手动模拟一下就知道怎么处理了,这里开个头,A(0,0)只能有L(0,0)*U(0,0)得到,通常我们假设L(0,0)=1,然后类似于这种,再考虑L的第二行和R的第二列,这时候,所有的值都是固定的了。。。这个过程中如果A对角线出现了0,记录初等行互换就行了,这时候我们的行互换会构成一个矩阵P,即$PA = LU$ , 即$A = P^TLU$

矩阵的LR分解

无要求
通过初等行变化,将矩阵A变为Hermite型(阶梯矩阵)R,这个过程中,我们可以在A右边增广一个单位阵L,当算法结束的时候R是阶梯型,L也是,我们只保留R的非零行和L相应的列即可,最终$A=LR$,且L为列满秩,R为行满秩

矩阵的SVD分解

现在有个$n*m$的矩阵$A$,注意到矩阵$A^HA$是一个厄米特矩阵,且是半正定矩阵,由正规矩阵的性质我们不难得出一个式子$V^HA^HAV = D_2$,其中$V$是$A^HA$的特征向量构成的酉矩阵,$D_2$是对角矩阵,根据半正定矩阵的性质,我们得出$D_2$中的元素非负,进而我们可以构建$n*m$矩阵$D$,$D$只在对角线上的值非零,且$D(i,i)=\sqrt{D_2(i,i)}$,使得的$D*D^H=D_2$,进而我们得到了分解$V^HA^HAV = D^HD$,对$AV$来说他的前r个列向量间正交,取出他们${v_1,v_2…,v_r}$,这些其实就是$A^HA$的特征向量,对应的特征值是$\sigma_i^2$,我们构造$u_i = \frac{Av_i}{\sigma_i}$得到了${u_1,u_2,…u_r}$加0扩充为${u_1,u_2,…u_n}$这就是一个酉矩阵U,不难发现$AV=UD$,即我们得到了分解$A = UDV^H$,这就是$SVD$分解。

方阵的极分解

根据矩阵的$SVD$分解我们不妨设$P=UDU^H$和$Q=UV^H$,不难发现,现在$A=PQ$,这是一个非常好的性质,P是半正定矩阵,Q是酉矩阵。

其实矩阵还有很多很多其他的分解,这里先留一个坑