A Matrix Equation

链接

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/10662/A

题意

给你两个01方阵AB,你要找到一个01矩阵C,使得在2的模群中$A\times C=B\cdot C$ ,其中 $\times$ 为一般矩阵乘积, 符号 $\cdot$ 为哈达马积(Hadamard product)

问你C有多少个解

数据范围

AB的行列都小于2000

题解

通过观察,我们发现C的每一列是互相独立的,不妨设他的第i列为$C_i$ 我们取出这里一列重新构建一个矩阵,这是一个n行一列的矩阵。
$$
\begin{bmatrix}
C_{1i} \
C_{2i} \
C_{3i} \
. \
. \
. \
C_{ni} \
\end{bmatrix}
$$
然后就有了
$$
\begin{aligned}
A \times
\begin{bmatrix}
C_{1i} \
C_{2i} \
C_{3i} \
. \
. \
. \
C_{ni} \
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
B_{1i}\cdot C_{1i} \
B_{2i}\cdot C_{2i} \
B_{3i}\cdot C_{3i} \
. \
. \
. \
B_{ni}\cdot C_{ni} \
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
B_{11}\
& B_{22}\
&& B_{33}\
&&&\cdot \
&&&&\cdot \
&&&&&\cdot \
&&&&&&B_{ni} \
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
C_{1i} \
C_{2i} \
C_{3i} \
. \
. \
. \
C_{ni} \
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$

$$
(A -
\begin{bmatrix}
B_{11}\
& B_{22}\
&& B_{33}\
&&&\cdot \
&&&&\cdot \
&&&&&\cdot \
&&&&&&B_{ni} \
\end{bmatrix} )
\times
\begin{bmatrix}
C_{1i} \
C_{2i} \
C_{3i} \
. \
. \
. \
C_{ni} \
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
0 \
0 \
0 \
. \
. \
. \
0 \
\end{bmatrix}
$$
我们发现这是一个齐次线性方程组,直接使用高斯消元即可,时间复杂度$O(N^3)$,注意到是01矩阵,可以使用压位的方式降低64倍复杂度。

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#include <iostream>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <bitset>

using namespace std;


int getDel(vector<bitset<205>> a, int n) {
int row = 1;
for (int maxCol = 1; maxCol <= n; row++, maxCol++) {
if (a[row][maxCol] == 0) {
int i = row + 1;
while (i <= n && a[i][maxCol] == 0) {
i++;
}
if (i == n + 1) {
row--;
continue;
} else {
swap(a[i], a[row]);
}
}

for (int nextRow = row + 1; nextRow <= n; nextRow++) {
if (a[nextRow][maxCol] == 0) {
continue;
} else {
a[nextRow] ^= a[row];
}
}
}

return row - 1;
}


int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);

const int mod = 998244353;

int n;
cin >> n;
vector<bitset<205>> a(n + 1), b(n + 1);

for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
int x;
cin >> x;
a[i][j] = x;
}
}

for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
int x;
cin >> x;
b[i][j] = x;
}
}

int pow[205] = {1};
for (int i = 1; i < 205; i++) {
pow[i] = int(pow[i - 1] * 2LL % mod);
}

int ans = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
vector<bitset<205>> t = a; // t = a - bi

for (int col = 1; col <= n; col++) {
t[col][col] = t[col][col] ^ b[col][i];
}

int del = getDel(t, n);
int tmp = pow[n - del];
ans = int(1LL * tmp * ans % mod);
}

cout << ans << endl;
}

J Tree Constructer

链接

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/10662/J

题意

Alice有一颗树,你需要构造一个长度为n的序列,Alice会检查序列,如果满足$a_i | a_j=2^{60}-1$, 符号$|$是二进制运算’或’, Alice会对点$i$和点$j$连上一条无向边,最后Alice得到了一个图,他会检查这个图是否和他的树一摸一样,如果是,你就成功了。

数据范围

$n<100, 0<a_i<2^{60}$

题解

考虑一个100个点的二分图,不妨假设这个二分图左侧的点比右侧的点少,且左侧的点的数量为x。则$x<50$。

我们给这$x$个点从0到$x-1$编号,最后为他们赋值$2^{60}-1-2^i(i为编号)$, 对于右边的点,我们假设他与编号在集合$S={s_1,s_2,s_3…}$的所有点相连,则我们为他赋值$2^{s_1}+2^{s_2}+2^{s_3}+…$, 由此方法,我们发现如果左边的点连向右边的点,他们的值的或恰好满足题意。

接下来我们要解决的是左侧的点与左侧的点不可连边,右侧的点与右侧的点不可连边,其实只需要让左侧和右侧的点的值分别以$01,10$开头即可。

然后树是一种特殊的二分图。此题已解决。

L Bit Sequence

链接

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/10662/L

题意

定义函数$f(x)$为$x$的二进制表示中,数字$1$出现的次数。

现在给你一个$01$串$a$,问在区间$[0,L]$中有多少个$x$满足: $∀i∈[0,m−1],f(x+i) \mod 2=a_i$

T组输入

数据范围

$T<1000,|a|<100, L<10^{18}$

题解

分析$f(x)$在$x=0,1,2,3$构成的序列$0,1,1,0$, 我们发现复制然后取反就能不断得到后面的值比如接下来的值就是$1,0,0,1$, 这个很好证明,其实本来是复制然后$+1$,但是在$2$的模群中,$+1$其实就是取反。

然后就变成了在一个长度为$10^{18}$的字符串中寻找子串$a$出现的次数,由于$|a|<100$,我们可以先分析长度恰好为128的母串A。然后翻转取反,分析接下来的长度为128的母串B,此后的所有串均为这AB排列得到,然后考虑跨越A或者跨越B的情况,由于$|AB|=256$,$|AA|=256$,$|BB|=256$,$|BA|=256$,所以跨越不会超过两个128长度的串所以我们直接对这四个情况分别统计即可,最后我们只能处理$L\mod 128=0$的情况,对于剩下的一小部分,直接暴力即可。

时间复杂度$O(T\times256\times4)$

请我喝[茶]~( ̄▽ ̄)~*

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